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domenica 18 luglio 2010

I LEZIONE : INFORMATICA


Con questo articolo inauguro la nuova rubrica in cui voglio inserire un po’ delle mie conoscenze di studio per la scuola e per gli esami, questo è il materiale che ho ricavato dai miei appunti, dalle lezioni seguite e dai libri. Inizio con la prima lezione di informatica

I LEZIONE: INTRODUZIONE AL SISTEMA BINARIO & SISTEMI DI NUMERAZIONE: i Sistemi posizionali.

Origini. Per sistema di numerazione si indica un insieme di simboli e di regole tramite i quali si rappresenta il concetto di numero. Un sistema di numerazione nasce dal bisogno di contare dell’uomo che risale alle sue origini. I sistemi di numerazione si dividono in: posizionali e non posizionali. Un sistema di numerazione si dice posizionale se la cifra cambia valore in base alla posizione che occupa. In un sistema non posizionale come quello romano il numero rappresentato è dato dalla somma del valore di ogni simbolo. Un sistema di numerazione non posizionale è quello dei numeri romani. Un sistema di numerazione posizionale è quello usato dai Maya, e quello che usiamo oggi. Il sistema usato dai romani è detto additivo, i numeri chiave si indicano con un simbolo, gli altri si ricavano per addizione o sottrazione. Il sistema Maya è invece vigesimale, i primi 20 numeri hanno un simbolo e da essi si ricavano tutti gli altri.
Nei sistemi di numerazione posizionali dato un numero B>1 detto base, e un insieme di simboli, detti cifre, un numero intero si rappresenta come una sequenza di n simboli (o cifre). La cifra che si trova più a sinistra è la più significativa, quella più a destra è la meno significativa. Se B=10 il sistema viene detto decimale, i suoi simboli sono 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 e vengono raggruppati per unità, decine, centinaia, ecc. per rappresentare i numeri. Data allora una sequenza di cifre decimali che esprimono un numero intero posso ricavare la corrispondente forma polinomia, la quale mette in evidenza il valore numerico della sequenza di cifre: an‐1Bn‐1+an‐2Bn‐2+…+a2B2+a1B1+a0B0 . Es. 2435 diventa: 5*100+3*101+4*102+2*103 .
Per rappresentare un numero decimale razionale posso usare la stessa formula: an‐1Bn‐1+an‐2Bn‐2+…+a2B2+a1B1+a0B0+a‐1B‐1+a‐2B‐2+…+a‐(m‐2)B‐(m‐2)+ a‐(m‐1)B‐(m‐1)+ a‐mB‐m . Es. 23.42 = 2*101+3*100+4*10‐1+2*10‐2 .
Riguardo ai sistemi posizionali al variare della base varia il numero di cifre utilizzabili, se B=3, le cifre sono 0,1,2. La numerazione sarà: 0 1 2 10 11 12 20 21 22… . se B=3 il sistema si dice ternario. Il sistema usato oggi nel mondo occidentale è quello decimale perché 10 è una base né troppo grande(quindi con l’uso di molti simboli) né troppo piccola(pochi simboli), anche perché 10 è il numero di dita delle mani.
I sistemi di numerazione decimali sono vantaggiosi perché:
1)      Sono compatti: cioè la lunghezza delle stringhe (parole) cresce in modo logaritmico con il crescere del valore dei numeri, per i numeri interi.
2)      Sono operativi: sulle cifre così rappresentate facilmente si possono eseguire delle operazioni aritmetiche.
SISTEMA BINARIO: se la base è 2 il sistema si dice binario. I simboli usati si dicono “bit” e sono 0,1 . Se si vuole rappresentare l’informazione (costruire un codice)2 è il numero minimo di simboli da utilizzare(cioè il supporto fisico deve avere almeno 2 diverse configurazioni), dato che deve essere B>1 . Per questo il sistema binario è il più adatto ai circuiti digitali. Anche la logica booleana usa solo 2 simboli: VERO=1 e FALSO=0 .
Allora nel sistema binario se ho 2 simboli e N è la lunghezza della stringa da usare, potrò rappresentare 2N valori diversi. Se N=2 (2 bit) posso rappresentare 22=4-1=3 valori diversi: 00 01 10 11 .
Posso anche affrontare il problema inverso: se conosco il numero di valori che voglio rappresentare, V, mi basterà usare la formula inversa: V=2N cioè N=log2V , e si arrotonda per eccesso. Es. se V=5 => N=log25=log5/log2=2.3=>3, infatti: 000 001 010 011 100 101 .
Lo zero non si conta!
I sistemi di numerazione posizionale si dicono completi per il teorema di divisione euclidea. Infatti il teorema garantisce che tutti i numeri naturali possono essere rappresentati in un sistema di numerazione (posizionale) a base B.
Invece la rappresentabilità dei numeri frazionali non è garantita!
Significa che alcune frazioni sono rappresentabili (con un numero finito di cifre decimali)in una base mentre non lo sono in un’altra(diventano a numero infinito di cifre decimali).
Esempi:
Il numero 1.2 (decimale) non è rappresentabile in binario
Per rappresentarlo sarebbero necessarie infinite cifre: 1.00110011…
Il numero 0.1 (ternario) non è rappresentabile in decimale
Si può rappresentare con la notazione frazionaria 1/3, che in decimale è pari
a: 0.3333…
RAPPRESENTAZIONE DI UN NUMERO: esiste una procedura universale per rappresentare un numero in un sistema posizionale a base B. Tale procedura (simile ad un algoritmo) può non terminare nel caso di numeri frazionari(=numeri frazionari a numero infinito di cifre decimali). Con tale procedura è possibile passare da una base ad un’altra. Per evitare ambiguità in presenza di più sistemi di numerazione, la sequenza appartenente ad un sistema viene denotata con la base del sistema di numerazione: per esempio, (11010)2=(26)10=(1A)16 .
CONVERSIONI:
1)Base --> Decimale: Si ottiene con la forma polinomia.
2)Decimale --> Base B: Metodo delle divisioni e moltiplicazioni successive.

1)      La conversione di un numero (anche frazionario) da un sistema di numerazione a base B al sistema decimale è effettuata usando la forma polinomia: (211)3=(2*32+1* 31+1* 30)10= (18+3+1)10= (22)10 .
an‐1Bn‐1+an‐2Bn‐2+…+a2B2+a1B1+a0B0  : nella formula polinomia le cifre “a”, la base “B” e le operazioni sono quelle della base di arrivo, cioè decimale.
2)      Si effettua usando il metodo delle divisioni e moltiplicazioni successive. La parte intera e la parte decimale si convertono separatamente. La parte intera del numero in base B è ottenuta dividendo ripetutamente la parte intera del numero decimale per la base B (rappresentata in decimale) e registrando via via i resti delle divisioni, fino a ottenere un quoziente uguale a zero. La parte frazionaria del numero in base B è ottenuta moltiplicando ripetutamente la parte frazionaria del numero decimale per la base B e registrando la parte intera dei successivi prodotti, fino ad ottenere un prodotto pari a uno.

Le conversioni dal sistema binario e i sistemi potenze di 2 sono facilitate, es. il sistema ottale è 8=23 , devo solo raggruppare la cifre scritte in modo binario a tre a tre a partire dal punto, e convertire in ottale ogni gruppo. La stessa regola è valida anche per tutti i sistemi che hanno basi che sono tra loro multiple o sottomultiple.
Negli altri casi, se per es. devo passare dalla base 2 alla base 3 converto prima il numero in decimale e poi faccio la conversione.


Per chiudere lascio un aforisma in inglese:

There are only 10 types
of people in the world:
those who understand binary
and those who don't.

Bon travail !

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